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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7. Sean $f$ y $g$ funciones tales que $f(x)=1+\sqrt{x}, g^{\prime}(x)=\cos ^{2}(3 x)+1$ y $g(0)=4$. Calcule $(f \circ g)^{\prime}(0)$ y $(g \circ f)^{\prime}(0)$.
Respuesta
Atenti acá. Tenemos una función compuesta \( (f \circ g)(x) \), esto era lo mismo que $f(g(x))$, no? Y así quizás se ve mucho más claro cómo lo vamos a derivar usando la regla de la cadena. Nos queda:
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$ (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $
(o sea, derivo primero lo de afuera, y multiplico por la derivada de lo de adentro... en este caso, "lo de adentro" es $g(x)$)
Nosotrxs necesitamos encontrar $(f \circ g)^{\prime}(0)$, entonces evaluamos en $x=0$
$ (f \circ g)'(0) = f'(g(0)) \cdot g'(0) $
$g(0)$ es dato y vale $4$, entonces:
$ (f \circ g)'(0) = f'(4) \cdot g'(0) $
La derivada de \( f(x) = 1 + \sqrt{x} \) es:
$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
Por lo tanto, $f'(4) = \frac{1}{4}$
Y la derivada de $g$ ya nos la dan, es $ g'(x) = \cos^2(3x) + 1 $
Con lo cual, $g(0) = 2$
Reemplazamos en nuestra expresión:
$ (f \circ g)'(0) = f'(4) \cdot g'(0) $
$ (f \circ g)'(0) = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2} $
Ahora vamos a usar razonamientos similares para calcular $(g \circ f)^{\prime}(0)$
Aplicamos regla de la cadena:
$ (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) $
Evaluamos en $x=0$
$ (g \circ f)'(0) = g'(f(0)) \cdot f'(0) $
Y acá hay un problema, porque $f'(0)$ no está definida (mirá bien la derivada de $f$, podés evaluarla en $x=0$? cuál es el dominio de $f'(x)$?). Por lo tanto, $ (g \circ f)'(0) $ no está definida, es decir, no existe. También, podrías decir que la función $ (g \circ f)(x)$ no es derivable en $x=0$.